\chapter{勒让德(1785)微分方程的数学推导与物理意义}

\begin{abstract}
本文系统重构了阿德里安-马里·勒让德(Adrien-Marie Legendre)于1785年在研究球体引力势时提出的勒让德微分方程的原始推导过程。通过分析拉普拉斯方程在球坐标系下的分离变量解，勒让德发现了一类特殊的多项式函数解，现称为勒让德多项式。本文详细展示了从拉普拉斯方程到勒让德方程的完整数学推导，并讨论了其在当时的科学背景与现代应用。

\textbf{关键词}: 勒让德方程，特殊函数，分离变量法，球谐函数，数学物理方程
\end{abstract}

\section{引言}
1785年，勒让德在研究球体对外部质点的引力势问题时，在《关于行星形状的研究》(Recherches sur la figure des planètes)中首次提出了以他命名的微分方程。这项工作起源于拉普拉斯等人的天体力学研究，为后续球谐函数理论的发展奠定了基础。

\section{历史背景}
勒让德的推导基于以下科学背景：

\begin{itemize}
\item 拉普拉斯正在发展引力势理论(1782)
\item 牛顿《自然哲学的数学原理》中球体引力问题尚未完全解决
\item 需要处理偏微分方程在球坐标下的分离变量解
\end{itemize}

\section{数学推导}
\subsection{拉普拉斯方程的球坐标形式}
考虑球坐标系$(r,\theta,\phi)$下的拉普拉斯方程：

\begin{equation}
\nabla^2 \Phi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \Phi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial \Phi}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} = 0
\end{equation}

\subsection{分离变量假设}
设解具有形式$\Phi(r,\theta,\phi) = R(r)\Theta(\theta)\Psi(\phi)$，代入后得到：

\begin{equation}
\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \frac{1}{\Psi\sin^2\theta}\frac{d^2\Psi}{d\phi^2} = 0
\end{equation}

\subsection{角向方程分离}
引入分离常数$m^2$，得到$\phi$方向的方程：

\begin{equation}
\frac{1}{\Psi}\frac{d^2\Psi}{d\phi^2} = -m^2 \quad \Rightarrow \quad \Psi(\phi) = e^{im\phi}
\end{equation}

剩余部分可表示为：

\begin{equation}
\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) - m^2 + \lambda\sin^2\theta = 0
\end{equation}

其中$\lambda$为第二个分离常数。

\subsection{勒让德方程的诞生}
通过变量代换$x = \cos\theta$，$y(x) = \Theta(\theta)$，得到：

\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dy}{dx}\right] + \left(\lambda - \frac{m^2}{1-x^2}\right)y = 0
\end{equation}

当$m=0$时(轴对称情况)，得到标准勒让德方程：

\begin{equation}
(1-x^2)\frac{d^2 y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + \lambda y = 0
\end{equation}

\section{勒让德多项式的发现}
勒让德发现当$\lambda = n(n+1)$($n$为非负整数)时，方程存在多项式解：

\begin{equation}
P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n
\end{equation}

前几项为：
\begin{align*}
P_0(x) &= 1 \\
P_1(x) &= x \\
P_2(x) &= \frac{1}{2}(3x^2-1) \\
P_3(x) &= \frac{1}{2}(5x^3-3x)
\end{align*}

\section{原始推导的特点分析}
勒让德的推导具有以下特征：

\begin{itemize}
\item 首次系统处理球坐标系下的分离变量问题
\item 采用级数解法寻找多项式特解
\item 隐含了Sturm-Liouville理论的思想萌芽
\item 建立了正交多项式与微分方程的联系
\end{itemize}

\section{现代视角下的意义}
勒让德方程的重要性体现在：

\begin{enumerate}
\item 量子力学中的角动量理论
\item 电磁学中的多极展开
\item 地球重力场建模
\item 数值分析中的高斯积分
\end{enumerate}

\section{结论}
1785年勒让德方程的提出，不仅解决了当时天体力学中的具体问题，更开创了特殊函数研究的先河。其将微分方程与正交多项式相联系的方法，为19世纪的数学物理发展提供了重要工具，至今仍在多个科学领域发挥核心作用。

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{legendre1785}
Legendre, A.-M. (1785). 
\textit{Recherches sur la figure des planètes}. 
Mémoires de l'Académie des Sciences.

\bibitem{arfken2012}
Arfken, G. B., \& Weber, H. J. (2012). 
\textit{Mathematical Methods for Physicists} (7th ed.). 
Academic Press.

\bibitem{szego1975}
Szegő, G. (1975). 
\textit{Orthogonal Polynomials} (4th ed.). 
American Mathematical Society.
\end{thebibliography}

\appendix
\section{勒让德方程的级数解法}
勒让德原始论文中采用的Frobenius级数解法：

设解为$y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k$，代入方程可得递推关系：

\begin{equation}
a_{k+2} = \frac{k(k+1)-\lambda}{(k+1)(k+2)}a_k
\end{equation}

为保证解在$x=\pm 1$处有限，必须截断为多项式，故$\lambda = n(n+1)$。
